roh: vektor

BAB 4 VEKTOR

Standar Kompetensi:

3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi

Kompetensi Dasar:

3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vaktor dalam pemecahan masalah

3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah

Alokasi waktu: 22 jam pelajaran

Dilaksanakan : Pert 30 s/d 41

Pertemuen ke-30 s/d 32

Rangkuman Materi

Vektor adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan arah

Lambang vektor : anak panah

Arah avektor sesuai arah panah

Panjang vektor sesuai panjang anak panah

b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ

- Panjang vektor a dinotasikan ôa ô atau ôPQô

A. Vektor di Ruang Dua

1. Vektor di ruang dua adalah vektor yang terdiri dari dua komponen

Misalnya: Suatu vektor Bertitik awal di pusat koordinat O (0,0) dan berujung dititik A (x, y) dapat dinyatakan dalam bentuk

- Vektor baris : QA =

= (x, y)

- Vektor kolom: OA =

- Vektor basis : OA =

= xi+xj

2. Vektor posisi

Jika diketahui titik A(x₁, y₁) dan B (x₂, y₂) maka:

- Vektor posisi titik A adalah :

- Vektor posisi titik B adalah :

- Vektor posisi titik AB adalah :

3. Vektor satuan

Vektor satuan dari

adalah vektor yang searah dengan

dan panjangnya satu satuan.

- Notasi : vektor satuan dari

adalah

4. Vektor nol

Vektor yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu, dilambangkan dengan

5. Hubungan dua vektor

- Kesamaan dua vektor : vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama

- Dua vektor berlawanan: vektor dikatakan berlawanan jika besar sama tapi arahnya berlawanan

Misalnya:

6. Operasi aljabar vektor

a. Penjumlahan vektor

Diketahui dua vektor

Maka a + b adalah:

- Cara segitiga Cara jajaran genjang

b. Sifat-sifat penjumlahan vektor

- Kumutatif :

- Asosiatif : (

) +

- Identitas :

- Invers :

c. Pengurangan vektor:

7. Perkalian vektor dengan skalar

Hasil kali vektor

dengan skalar k adalah vektor

yang arahnya sama dengan

dan panjangnya k kali

Sifat-sifat perkalian skalar:

- k(la) = (kl)

- (k+l)

= k

- k

Contoh:

Diketahui :

Tentukan:

a. 2

+ 3

b. –a + 2b - 2

Jawab:

8. Perkalian skalar dua vektor (dot product)

a. Jika a = x₁i + y₁j dan b = y₂j maka a . b = x₁ x₂ + y₁ y₂

b. Jika diketahui

dan <

= 60^o

Contoh:

Diketahui :

Tentukan:

Jawab:

cos a

= 3 . 5 . cos 60^o =

9. Panjang/lebar vektor

a. Jika AB =

maka

Jika

maka

Contoh:

Jika titik A(-3,-1) dan B(1,-4) tentukan

b. Resultan dua vektor

Jika panjang vektor

adalah

dan panjang vektor

adalah

maka:

Keterangan:

panjang (

)

Keterangan:

panjang (

)

Lembar Kerja Siswa

Isilah titik-titik di bawah ini dengan benar!

1. Jika titik A(-5,2), B(-2,6) maka tentukan:

a. vektor posisi OA, OB dan AB

b. Panjang vektor AB

Jawab:

2. Diketahui vektor

= 2c + 3j dan

= 3i – 2j tentukan

b. cos <

= …..

Latihan

A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawabn yang paling benar!

1. Koordinat titik P (-2, 5) dan vektor

maka koordinat titik Q adalah…..

a. (-6, 8)

b. (-2,-2)

c. (2,8)

d. (-6,2)

e. (2,2)

2. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini! Titik E adalah titik tengah AB. Jika vektor AB =

dan

maka vektor

diwakilkan oleh …..

3. Tentukan titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang diwakili oleh

berlawanan dengan

, maka nilai x + y adalah….

a. -18

b. -13

c. 9

d. 13

e. 18

4. Vektor

dan

= -i+xj, jika 2

. b = -6 maka nilai x²-x =…

a. 2

b. 4

c. 6

d. -2

e. -6

5. Diketahui 2 vektor

= 3i – (2x1)j dan

= 6i = 2j, jika vektor

sejajar dengan vektor

maka panjang vektor P = …..

a. 1

b. 4

d. 9

6. Jika

dan koordinat titik C (-5,3) maka koordinat titik B adalah….

a. (12,-19)

b. (-4,-12)

c. (-12,19)

d. (4,-12)

e. (12,19)

7. Diketahui

dan

jika

dan

= 5, maka nilai x adalah….

a. -4 atau 4

b. -4 atau 3

c. -3 atau 5

d. -3 atau 4

e. -5 atau 3

8. Jika titik P (2,1), Q(-1,3) dan R (-1,3) maka

adalah…..

a. -13

b. -1

c. 1

d. 11

e. 13

9. Vektor

membentuk sebuah segitiga maka nilai x – 2y = ….

a. 11

b. 6

c. 2

d. 1

e. -1

10. Jika

dan

maka

adalah….

a. 2

b. 3

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!

1. Diketahui jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = 1 : 2 dan Q titik tengah BC. Jika

dan

berturut-turut merupakan vektor posisi titik A, B, C dan D maka tentukan:

a. Vektor AP

b. Vektor D,Q dalam

dan

2. Segitiga PQR, koordinat titik P(-5,1), vektor PQ = 7i – 4j dan

tentukan:

a. Koordinat titik Q dan R

b. Vektor posisi

3. Koordinat titik P(5,-7), Q(-1,2) jika 3PR = 2PQ, tentukan

4. Segitiga ABC,

, jika titik D pada BC dimana BD : DC = 3 : 2 maka tentukan vektor AD dalam

dan

Pertemuan 33 s/d 35

Rangkuman Materi

B. Sistem koordinat titik di ruang tiga (R)

Sistem koordinat titik diruang tiga digunakan tiga sumbu koordinat x, y, dan z yang saling tegak lurus dengan posisi sumbu-sumbunya mengikuti aturan tangan kanan, seperti gambar berikut:

atau

Koordinat x, y, dan z ditentukan oleh berapa jaraknya terhadap bidang:

1. zoy : koordinat x disebut absis

2. xoz : koordinat y disebut ordinat

3. xoy : koordinat z disebut aplikat

1. Penulisan vektor di ruang tiga (R₃)

Diketahui vektor a dengan komponen-komponen x, y, z ditulis dalam:

a. vektor kolom :

b. vektor baris :

c. Basis vektor :

(i, j dan k vektor satuan pada sumbu x, y dan z)

2. Rumus-rumus pada vektor di R₃

a. Diketahui titik P(x, y, z) dan Q (x₂, y₂, z₂) maka vektor posisi dari:

1) titik P :

2) titik Q :

b. Panjang vektor

= xi + yj + zk adalah :

Panjang vektor

adalah

c. Hal-hal lain yang berlaku pada vektor di R₂ berlaku juga pada vektor si R₃

3. Rumus pembagian ruas garis

a. Titik P menjadi di dalam ruas garis AB

Perbandingannya = AP = PB = m : n

A P B

b. Titik P membagi di luar garis AB

à AP : PB = m : n

-n

A B P

Rumus pembagian ruas garis AB

A P B

- Jika diketahui vektor

dan

maka vektor

adalah:

- Jika diketahui koordinat titik A dan B maka koordinat titik P (x_p,y_p,z_p) adalah:

4. Tiga titik yang segaris (kolinier)

a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier) jika dipenuhi:

= k

atau

= k

atau

= k

dengan k bilangan real

b. Dua vektor a dan b dikatakan segaris atau sejajar jika dipenuhi

A = kb atau b = ka, elemen bilangan real

5. Tiga titik yang sebidang (koplanar)

Tiga titik A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), dan (x₃, y₃, z₃), dikatakan sebidang atau coplanar jika dipenuhi:

Jika dipenuhi:

= 0 (diterminan matrik ordo tiga)

6. Titik berat dari sebuah segitiga

Jika diketahui segitiga ABC dengan A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), dan C(x₃, y₃, z₃) maka koordinat titik berat segitiga tersebut adalah Z(x_z, y_z, z_z)